Determinan Matriks

Determinan adalah nilai yang dapat dihitung dari unsur-unsur suatu matriks persegi.

Misalnya, terdapat suatu matriks yang kita beri nama matriks A. Determinan matriks A bisa ditulis dengan tanda det (A), det A, atau |A|. Nah, cara mencari determinan suatu matriks juga berbeda-beda, tergantung dari ordonya.

a. Determinan Matriks Ordo 2x2

Misalkan A adalah matriks berordo 2x2. Elemen a dan d terletak pada diagonal utama, sedangkan elemen b dan c terletak pada diagonal kedua. Determinan matriks A dapat diperoleh dengan mengurangkan hasil kali elemen-elemen diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal kedua.

Rumus determinan matriks ordo 2x2

Contoh Soal

Tentukan determinan Matriks berikut:

Pembahasan:

Berikut ditampilkan Media interaktif GeoGebra untuk menambah pemahaman kalian!

b. Determinan Matriks Ordo 3x3

Misalkan A adalah matriks berordo 3x3. Terdapat dua cara yang bisa dilakukan untuk mencari determinannya, yaitu menggunakan aturan Sarrus dan metode minor-kofaktor

Rumus determinan matriks ordo 3x3

1. Aturan Sarrus

Langkah-langkah aturan Sarrus

1. Langkah pertama, tulis lagi elemen-elemen pada kolom ke-1 dan ke-2 di sebelah kanan matriks A

2. Langkah kedua, kalikan elemen-elemen matriks tersebut sesuai pola

Perhatikan Gambar dibawah:

Jadi |A|= ((a x e x i)+(b x f x g)+(c x d x h) - (c x e x g) - (a x f x h) - (b x d x i))

2. Metode Minor-Kofaktor

Penjelasan:

Misalkan A_ij adalah suatu matriks yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j dari suatu matriks A_mxn.

Didefinisikan sebagai berikut:

1. Minor elemen a_ij diberi notasi M_ij, adalah M_ij=det(A_ij).
2. Kofaktor elemen a_ij, diberi notasi C_ij, adalah C_ij=(-1)^i+j.

Misalkan diketahui matriks A
Dari Matriks A diatas maka:

Sifat-sifat Determinan Matriks

Misalkan A dan B adalah matriks berordo nxn dan k adalah suatu konstanta maka berlaku sifat-sifat berikut:

1. |AB|= |A||B|
2. |A^T|= |A|, (A^T merupakan transpose Matriks A)
3. |kA|= kⁿ|A|, n = ordo matriks A
4. |A^-1|= 1/|A|
5. Baris atau kolom yang semua elemennya bernilai nol, maka determinan matriksnya = 0
   

   Contoh:

   A=

   1 2 0 0

   maka |A| = 0

6. Dua baris atau kolom yang elemennya sama/kelipatannya, maka determinan matriksnya = 0
   Contoh:
   

   A=

   3 2 1 5 3 2

   maka |A| = 0

   
   

   A=

   4 2 10 3 7 6 2 1 5

   maka |A| = 0

Contoh Soal

Tentukan determinan dari matriks A dengan metode Sarrus

Pembahasan:

2. Dengan menggunakan metode minor-kofaktor